Ни в коем случае не отдавайте свою трудовую иначе при увольнении вас будет шантажировать ее возвратом в обмен на подпись под документом о том, что компания вам ничего не должна.
А если учесть, что на трудовую вас все равно не оформляют, то смысла нести им ее нет никакого.